我们定义:平面直角坐标系中点P(x.y)到x轴的距离称为点P的偏离距离.如P的偏离距离为1.已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=ax+n相交于不同的两点A.B.其中点A在y轴负半轴.且偏离距离为$\frac{1}{2}$.点B坐标为(m-b.m2-mb+n).其中a.b.c.m.n为实数.且a.m不为0．(1)求c的值,(2)设抛物线y=ax2+bx+c上偏离距离为0的两个� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．我们定义：平面直角坐标系中点P（x，y）到x轴的距离称为点P的偏离距离，如P（1，-2）的偏离距离为1，已知抛物线y=ax²+bx+c与直线y=ax+n相交于不同的两点A，B，其中点A在y轴负半轴，且偏离距离为$\frac{1}{2}$，点B坐标为（m-b，m²-mb+n），其中a，b，c，m，n为实数，且a，m不为0．
（1）求c的值；
（2）设抛物线y=ax²+bx+c上偏离距离为0的两个点的横坐标分别为x₁和x₂，求x₁x₂的值；
（3）若函数图象在r≤x≤t上所有点的偏离距离的最大值记为d，如函数y=x+1在-2≤x≤3上的最大偏离距离d=4，求抛物线y=ax²+bx+c在-1≤x≤1上的最大偏离距离d的最小值．

分析（1）求出点A坐标，代入抛物线的解析式即可求出c的值．
（2）把点B坐标代入y=ax²+bx+c与直线y=ax+n得$\left\{\begin{array}{l}{a（m-b）^{2}+b（m-b）-\frac{1}{2}={m}^{2}-mb-\frac{1}{2}}&{①}\\{{m}^{2}-mb-\frac{1}{2}=a（m-b）-\frac{1}{2}}&{②}\end{array}\right.$，解方程组可得a=1，根据根与系数关系即可解决问题．
（3）构建函数，利用图象法解决即可．

解答解：（1）∵点A在y轴负半轴，且偏离距离为$\frac{1}{2}$，
∴点A坐标（0，-$\frac{1}{2}$），分别代入y=ax²+bx+c与直线y=ax+n中，可得c=n=-$\frac{1}{2}$，
∴c=-$\frac{1}{2}$．

（2）把点B坐标代入y=ax²+bx+c与直线y=ax+n得$\left\{\begin{array}{l}{a（m-b）^{2}+b（m-b）-\frac{1}{2}={m}^{2}-mb-\frac{1}{2}}&{①}\\{{m}^{2}-mb-\frac{1}{2}=a（m-b）-\frac{1}{2}}&{②}\end{array}\right.$
由②得到（m-b）（m-a）=0，
∵A、B是不同两点，
∴m-b≠0，
∴m=a，
把m=a代入①整理得到（a-b）²（a-1）=0，
∵m-b≠0，
∴m≠b，∵m=a，
∴a-b≠0，
∴a-1=0，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²+bx-$\frac{1}{2}$，
∵抛物线y=ax²+bx+c上偏离距离为0的两个点的横坐标分别为x₁和x₂，
∴x₁和x₂是方程，x²+bx-$\frac{1}{2}$=0的两根，
∴x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$．

（3）∵抛物线的解析式为y=x²+bx-$\frac{1}{2}$，
∴y=x²+bx-$\frac{1}{2}$=（x+$\frac{b}{2}$）²-$\frac{{b}^{2}}{4}$-$\frac{1}{2}$，
当x=-1时，y=$\frac{1}{2}$-b，
当x=1时，y=$\frac{1}{2}$+b，
令y₁=|-$\frac{{b}^{2}}{4}$-$\frac{1}{2}$|=$\frac{{b}^{2}}{4}+\frac{1}{2}$，
y₂=|$\frac{1}{2}$-b|，
y₃=|$\frac{1}{2}$+b|，
在同一坐标系中画出函数图象如图所示（y₂与y₃的图象相同），

根据偏离距离的定义，抛物线y=ax²+bx+c在-1≤x≤1上的最大偏离距离d的最小值，是对于同一自变量x，函数值y₁/、y₂、y₃中较小的值，
由图象可知：抛物线y=ax²+bx+c在-1≤x≤1上的最大偏离距离d的最小值为$\frac{1}{2}$．