Question

16．如图，∠AOB=60°，点C在∠AOB的平分线上，OC=4，点P、Q分别是射线OA、OB上不同于O的一点，且四边形OPCQ的内角∠PCQ=120°．设CP=x，CQ=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 过点C作CD⊥OA于D，过点C作CE⊥OB于E，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=2，由此可得PC≥2即x≥2．根据四边形内角和等于360°可得∠DCE=120°=∠PCQ，由此可得∠DCP=∠ECQ．根据角平分线的性质可得CD=CE，根据“ASA”可证到△CDP≌△CEQ，则有CP=CQ即y=x，再结合x≥2即可解决问题．

解答 解：过点C作CD⊥OA于D，过点C作CE⊥OB于E，如图．
∵∠AOB=60°，点C在∠AOB的平分线上，
∴∠AOC=∠BOC=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$×4=2．
∵点P是射线OA上一点，CP=x，∴x≥2．
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠ODC=∠OEC=∠QEC=90°，
∴∠DCE=360°-90°-90°-60°=120°．
∵∠PCQ=120°，
∴∠PCQ=∠DCE，
∴∠DCP=∠ECQ．
∵点C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD=CE．
在△CDP和△CEQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCP=∠ECQ}\\{CD=CE}\\{∠PDC=∠QEC}\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△CEQ（ASA），
∴CP=CQ，
∴y=x．
由于x≥2，
故选D．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半、四边形内角和等于360°、角平分线的性质等知识，在解决问题的过程中要考虑x的限制条件，避免选错．