Question

已知：如图，在△ABC中，A（a，0），B（b，0），C（0，c），且a、b、c满足b=

a-c

+

c-a

-2，BD⊥AC于D，交y轴于E．
（1）如图1，求E点的坐标；
（2）如图2，过A点作AG⊥BC于G，若∠BCO=30°，求证：AG+GC=CB+BO；
（3）如图3，P为第一象限任意一点，连接PA作PQ⊥PA交y轴于Q点，在射线PQ上截取PH=PA，连接CH，F为CH的中点，连接OP，当P点运动时（PQ不过点C），∠OPF的大小是否发生变化？若不变，求其度数；若变化，求其变化范围．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,勾股定理

专题：

分析：（1）由b=

a-c

+

c-a

-2就可以得出a=c，就可以b的值为2及∠CAB=45°，再由BD⊥AC就可以求出∠DBA=45°，进而求出BO=OE就可以求出点E的坐标；
（2）根据三角形的面积公式可以表示出AG=

OC•AB

BC

，由∠BCO=30°，∠BOC=90°由勾股定理就可以求出AG，GC，CB，BO的值就可以求出结论；
（3）延长PF到M，使MF=PF，连接MC，MO就可以得出△MFC≌△PFH，就有MC=PH，∠CMF=∠HPF，进而就可以得出△MCO≌△PAO，从而得出OM=OP，∠MOC=∠POA，从而可以得出结论．

解答：解：（1）如图1，∵b=

a-c

+

c-a

-2
∴a-c≥0，c-a≥0
∴a=c，b=-2，B（-2，0）
∴OA=OC，∠AOC=90°
∴∠OAC=∠OCA=45°
∵BD⊥AC
∴∠BDA=90°，∠DBA=45°
∵∠BOE=∠BEO=45°，
∴OB=OE=2
∴E（0，2）
（2）证明：如图2，∵AG⊥BC，CO⊥AB
∴S_△ABC=

1

2

OC•AB=

1

2

BC•AG
∴AG=

OC•AB

BC

∵∠BCO=30°，∠BOC=90°
∴BC=2BO=4，CO=

BC2-BO2

=2

3

∴OA=OC=2

3

，AB=2+2

3

∴AG=

OC•AB

BC

=

2 3 •(2+ 3 )

4

=3+

3

∵在Rt△AGB中，∠GBA=60°，∠GAB=30°
∴BG=

1

2

AB=1+

3

，CG=BC-BG=4-1-

3

=3-

3

∴AG+GC=3+

3

+3-

3

=6，
∵BC+BO=4+2=6
∴AG+GC=BC+BO
（3）∠OPF=45°，大小保持不变．
理由：如图3，延长PF到M，使MF=PF，连接MC，MO，
∵F为CH的中点，
∴FH=FC．
在△MFC和△PFH中

FC=FH ∠MFC=∠PFH MF=PF

，
∴△MFC≌△PFH（SAS），
∴MC=PH，∠CMF=∠HPF
∵PH=PA
∴MC=PA，MC∥PQ，
∴∠MCO=∠CQP．
∵∠CQP+∠PQO=180°，∠PAO+∠OQP=360°-90°-90°=180°，
∴∠MCO=∠PAO．
在△MCO和△PAO中

CO=AO ∠MCO=∠PAO MC=PA

，
∴△MCO≌△PAO（SAS）
∴OM=OP，∠MOC=∠POA．
∵∠POA+∠POC=90°，
∴∠MOP=∠MOC+∠COP=90°，
∴∠OPF=45°．

点评：本题考查了二次根式的性质的运用，坐标与图形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，平行线的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．