Question

4．如图．把正方形AOFG与Rt△AOB按如图1所示重叠在一起，其中AO=2，∠BAO=60°．分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．
（1）将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转45°得△A′B′O（如图（2）所示）．求点B′的坐标；
（2）将Rt△AOB绕直角顶点O按顺时针方向旋转，得△A′B′O，使斜边A′B′恰好经过F点，AB分别与A′O、A′B′相交于D、E两点（如图3所示），求证：AB∥OB′．

Answer 1

分析 （1）由旋转角为45°可知△OB′H为等腰直角三角形，可知OH=B′H，又由旋转的性质可知OB′=OB，则可求得OH的长，可求得B′点的坐标；
（2）由条件可证明△A′OF为等边三角形，可求得∠FOB′=∠ABO=30°，可证明AB∥OB′．

解答 解：
（1）在Rt△AOB中，AO=2，∠BAO=60°，
∴AB=2AO=4，则OB=2$\sqrt{3}$，
∵将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转45°得△A′B′O，
∴∠A′OF=∠AOF-∠AOA′=90°-45°=45°，
∴∠B′OH=∠A′OB′-∠A′OF=90°-45°，
∴△OB′H为等腰直角三角形，
又OB′=OB=2$\sqrt{3}$，
在Rt△OB′H中，由勾股定理可得2OH²=OB′²，
∴OH=B′H=$\sqrt{6}$，
∴B′点坐标为（$\sqrt{6}$，-$\sqrt{6}$）；
（2）由旋转可知∠OA′B′=∠OAB=60°，
∵四边形OAGF为正方形，
∴OA′=OA=OF，
∴△A′OF为等边三角形，
∴∠A′OF=60°，
∴∠BOB′=90°-60°=30°=∠ABO，
∴AB∥OB′．

点评 本题主要考查旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键，即旋转前后两个图形全等、旋转角相等．