Question

7．如图，已知A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₄是x轴上的点，且0A₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A₂₀₁₃A₂₀₁₄=A₂₀₁₃A₂₀₁₄=1，分别过点A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₄作x轴的垂线交二次函数y=x²（x≥0）的图象于点P₁，P₂，P₃，…，P₂₀₁₄．若△OA₁P₁的面积为S₁，过点P₁作P₁B₁⊥A₂P₂于点B₁，记△P₁B₁P₂的面积为S₂，过点P₂作P₂B₂⊥A₃P₃于点B₂，记△P₂B₂P₃的面积为S₃，…依次进行下去，最后记△P₂₀₁₃B₂₀₁₃P₂₀₁₄的面积为S₂₀₁₄，则S₃=$\frac{5}{2}$，S₂₀₁₄-S₂₀₁₃=1．

Answer 1

分析 解答这道题，需要找出S₁、S₂、S₃、…S_n之间的关系，通过图示可以发现：0A₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A₂₀₁₀A₂₀₁₁=A₂₀₁₁A₂₀₁₂=1，即这些直角三角形的一条直角边是相等的，所以只需找出它们的另一条直角边之间的关系即可；P₁A₁=1²=2-1、P₂B₁=2²-1²=2×2-1、P₃B₂=3²-2²=5=2×3-1、…、P_nB_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，然后根据三角形的面积公式即可求得．

解答 解：∵0A₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A₂₀₁₀A₂₀₁₁=A₂₀₁₁A₂₀₁₂=1，
即：A₁（1，0）、A₂（2，0）、A₃（3，0）、…A_n（n，0），
∴P₁A₁=1²=2-1
P₂B₁=2²-1²=2×2-1
P₃B₂=3²-2²=5=2×3-1
…
P_nB_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
∴S₃=$\frac{1}{2}$×1×（2×3-1）=$\frac{5}{2}$；
S₂₀₁₄-S₂₀₁₃=$\frac{1}{2}$[2014²-（2014-1）²]-$\frac{1}{2}$[2013²-（2013-1）²]=$\frac{1}{2}$（4027-4025）=1．
故答案为$\frac{5}{2}$、1．

点评 考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答此类规律型题目，关键是找出问题中的规律，在此题中，找出各直角三角形高之间的关系是解答题目的关键．