Question

如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA的平行线交⊙O于点C，AC与BD的延长线相交于点E．
（1）试探究AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若EC=4，ED=2，AC=6，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）利用切线的性质与判定得出∠3=∠4，进而得出△ABO≌△ACO，进而利用切线的判定得出即可；
（2）利用平行线性质以及勾股定理和切线的性质求出即可．

解答：解：（1）AE是⊙O的切线，
证明：连接CO，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°，
∵CD∥AO，CO=DO，
∴∠1=∠2，∠2=∠4，∠1=∠3，
∴∠3=∠4，
∵CO=BO，AO=AO，
∴

AO=AO ∠3=∠4 CO=BO

，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴∠ABO=∠ACO=90°．
∴AE与⊙O相切于点C；

（2）∵CD∥AO，
∴

EC

EA

=

CD

AO

=

ED

EO

，
∵EC=4，ED=2，AC=6，
∴

4

10

=

2

2+DO

，
∴DO=3，
∴BO=3，
∵AC，AB是⊙O的切线，
∴AC=AB=6，
∴AO=

BO2+AB2

=3

5

，
∴

CD

AO

=

2

5

=

CD

3 5

，
∴CD=

6 5

5

．

点评：此题主要考查了切线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理和勾股定理等知识，根据已知得出△ABO≌△ACO以及求出AO的长是解题关键．