Question

16．若P（x，y）满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-y=a+3}\\{2x+y=5a}\end{array}\right.$．
（1）若P在第四象限，求整点（横、纵坐标均为整数的点）Q（$\frac{1}{2}$a-3，2a）的坐标．
（2）若P在第三象限，解关于x的不等式a（x-2）＜4a．

Answer 1

分析 把a当常数，求方程组的解；
（1）根据P在第四象限特征列不等式组，求出解集，并求出点Q的横、纵坐标的整数解，写出Q坐标；
（2）根据P在第三象限特征列不等式组，求出a＜0，再解不等式．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{x-y=a+3①}\\{2x+y=5a②}\end{array}\right.$，
①+②得：3x=6a+3，
x=2a+1③，
把③代入②中得：2（2a+1）+y=5a，
y=a-2；
（1）当P在第四象限，
则$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＜0}\end{array}\right.$   即$\left\{\begin{array}{l}{2a+1＞0}\\{a-2＜0}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{1}{2}$＜a＜2，
∴-3$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{2}$a-3＜-2，-1＜2a＜4，
∵Q（$\frac{1}{2}$a-3，2a），且Q是整点（横、纵坐标均为整数的点），
∴整点Q的坐标为（-3，0）、（-3，1）、（-3，2）、（-3，3）；
（2）当P在第三象限，
则$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{y＜0}\end{array}\right.$  即$\left\{\begin{array}{l}{2a+1＜0}\\{2a＜0}\end{array}\right.$，
解得：a＜0，
a（x-2）＜4a，
ax-2a-4a＜0，
a（x-6）＜0，
∵a＜0，
∴x-6＞0，
x＞6．

点评 本题是方程组、不等式和点的坐标的综合题，解题思路为：以方程组的解为突破口，与点的坐标特征相结合，列一元一次不等式组，求出解集；再与已知条件相结合解决问题．