Question

6．解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-xy-3x+3=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-xy-yz-2zx+3=0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 该方程组中含有三个未知数，但只有两个方程，用常规的方法显然不行，可考虑将方程转化为非负数的和等于0，事实上第一个方程可化为（$\frac{1}{2}$x-y）²+3（$\frac{1}{2}$x-1）²=0，由此即可求出x和y的值，然后把它们代入第二个方程就可求出z的值．

解答 解：由x²+y²-xy-3x+3=0，得
$\frac{1}{4}$x²+y²-xy+$\frac{3}{4}$x²-3x+3=0，
即（$\frac{1}{2}$x-y）²+3（$\frac{1}{2}$x-1）²=0，
∴$\frac{1}{2}$x-y=0，$\frac{1}{2}$x-1=0，
∴x=2，y=1．
把x=2，y=1代入x²+y²+z²-xy-yz-2zx+3=0，得
4+1+z²-2-z-4z+3=0，
整理得：z²-5z+6=0，
解得：z₁=2，z₂=3，
∴原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\\{z=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\\{z=3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查的解特殊的方程组（只有两个方程，但含三个未知数），将方程转化为非负数的和等于0是解决未知数个数多于方程个数常用的方法，应熟练掌握．