Question

如图，∠MBN的两边BM，BN上分别有两点A、C，满足BC=2BA，作?ABCD，取AD的中点E，作CF⊥CD，CF与AB所在的直线交于点F．
（1）当∠B=90°时，直接写出∠DEF的度数；
（2）在射线BM绕B点旋转的过程中，若∠B=x°，∠DEF=y°（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°），求：y关于x的函数解析式及相应自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）如图1，当∠B=90°时，?ABCD是矩形，则点F与点B重合．易证△ABE是等腰直角三角形，则∠AEB=45°．则∠DEF=180°-∠AEB=135°；
（2）对∠B的大小分四种情况讨论如下：①当60°＜∠B≤90°时，点F在线段AB上，y=270°-

3x

2

；②当∠B=60°时，点F与点A重合，∠DEF=180°不合题意（如图3）．
③当90°＜∠B＜180°时，点F在线段AB的延长线上（如图4）．与①同理可得270°-

3x

2

仍成立；④当0°＜∠B＜60°时，点F在线段BA的延长线上，（如图5）
y=90°+

3

2

x．

解答：解：在?ABCD中，AD=BC．
（1）如图1，当∠B=90°时，?ABCD是矩形，则点F与点B重合．
∵BC=2BA，点E是AD的中点．
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴∠DEF=180°-∠AEB=135°，即∠DEF=135°；

（2）对∠B的大小分四种情况讨论如下：
①当60°＜∠B≤90°时，点F在线段AB上，如图2，连接BE并延长与CD的延长线交于点G，记∠AFE=α．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠3=∠B=x°．
∴∠DGE=∠AFE=α．
可得△AEF≌△DEG．
∴EF=EG，CE为Rt△CFG斜边的中线．
∴EF=EG，∠1=∠G=α．
∵BC=2AB，
∴2DE=2CD，DE=CD．
∴等腰三角形△CDE中，∠1=

180°-∠3

2

=90°-

x

2

=α．
∴∠DEF=180°-∠2=180°-（∠3-∠G）=180°-（x-α）=270°-

3x

2

．　　　 　　　　　　　　
由（1）知，当∠B=90°时，点F与点B重合，
此时∠DEF=135°，270°-

3x

2

=270°-

3

2

×90°=135°，
所以y=270°-

3x

2

仍成立；

②当∠B=60°时，点F与点A重合，∠DEF=180°不合题意（如图3）．

③当90°＜∠B＜180°时，点F在线段AB的延长线上（如图4）．与①同理可得270°-

3x

2

仍成立；

④当0°＜∠B＜60°时，点F在线段BA的延长线上（如图5）．
与①同理可得CE为Rt△CFG斜边的中线，EC=EG，DE=CD．
∴△CEG和△CDE为等腰三角形．
在等腰三角形△CEG中，∠1=180°-2∠2，
在等腰三角形△CDE中，∠CED=∠2=

180°-∠D

2

=

180°-x

2

，
∴∠DEF=180°-∠3=180°-（∠CED-∠1）=360°-3∠2=90°+

3

2

x．
综合上述：当0°＜∠B＜60°时，y=90°+

3

2

x．
当60°＜∠B＜180°时，y=270°-

3

2

x．

点评：本题考查了平行四边形的性质．难度较大，需要分类讨论，以防漏解．