Question

如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=

BC

CD

；②四边形CGMH是矩形；③△EGM≌△MHA；④S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE；⑤图中的相似三角形有10对．正确结论是（　　）

• A、①②③④
• B、①②③⑤
• C、①③④
• D、①③⑤

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,矩形的判定,锐角三角函数的定义

专题：几何综合题,压轴题

分析：①根据等腰直角三角形的性质及△ABC∽△EDC的对应边成比例知，

AC

EC

=

AB

ED

=

BC

CD

；然后由正切函数的定义得tan∠AEC=

AC

EC

，再由等量代换求得tan∠AEC=

BC

CD

；
②作梯形ABDE的中位线MN，根据梯形的中位线定理及矩形的判定定理解答；
③利用HL证明△EGM≌△MHA；
④由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a²+b²≥2ab（a=b时取等号）解答；
⑤图中的等腰直角三角形有7个，而任意两个等腰直角三角形都相似，则相似三角形有21对，还有1对△EGM∽△MHA．

解答：解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACE=90°．
∵△ABC∽△EDC，
∴

AC

EC

=

AB

ED

=

BC

CD

．
①∴tan∠AEC=

AC

EC

，
∴tan∠AEC=

BC

CD

，故本选项正确；
②作梯形ABDE的中位线MN，则MN∥AB∥DE，MN=

1

2

（AB+ED）．
∵MN∥AB，∠ABC=90°，
∴MN⊥BD，
∵N为BD中点，
∴△BMD为等腰三角形，
∴BM=DM，
又∵MN=

1

2

（AB+ED）=

1

2

（BC+CD）=

1

2

BD，
∴∠BMD=90°，
∴△BMD为等腰直角三角形，
∴∠BDM=∠DBM=45°，
∵∠DCE=45°，
∴∠CGM=∠CDG+∠DCG=45°+45°=90°，
∴∠HCG=∠CGM=∠GMH=90°，
∴四边形CGMH是矩形，故本选项正确；
③∵四边形CGMH是矩形，
∴CG=MH，
∵△CDE为等腰直角三角形，DG⊥CE，
∴CG=EG，
∴EG=MH．
在△EGM与△MHA中，∠EGM=∠MHA=90°，

EM=MA EG=MH

，
∴△EGM≌△MHA，故本选项正确；
④∵S_△ABC=

1

2

AB²，S_△CDE=

1

2

DE²，S_梯形ABDE=

1

2

（AB+DE）²，
∴S_△ACE=S_梯形ABDE-S_△ABC-S_△CDE=

1

2

（AB+DE）²-

1

2

AB²-

1

2

DE²=AB•DE，
S_△ABC+S_△CDE=

1

2

（AB²+DE²）≥AB•DE（AB=DE时取等号），
∴S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE，故本选项正确；
⑤图中的等腰直角三角形有△ABH、△BCH、△DCG、△DEG、△ABC、△CDE、△BMD，一共7个，而任意两个等腰直角三角形都相似，则相似三角形有21对，还有1对△EGM∽△MHA，故本选项错误．
故选A．

点评：本题考查了相似三角形、等腰直角三角形的判定与性质，梯形的中位线定理，矩形的判定，全等三角形的判定，锐角三角函数的定义，不等式的性质等知识．综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．