Question

12．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），且m≠0，点B的坐标为（n，0），将线段AB绕点B旋转90°，分别得到线段B P₁，B P₂，称点P₁，P₂为点A关于点B的“伴随点”，图1为点A关于点B的“伴随点”的示意图．

（1）已知点A（0，4），
①当点B的坐标分别为（1，0），（-2，0）时，点A关于点B的“伴随点”的坐标分别为（5，1），（-3，-1）和（2，-2），（-6，2）；
②点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，直接写出y与x之间的关系式；
（2）如图2，点C的坐标为（-3，0），以C为圆心，$\sqrt{2}$为半径作圆，若在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，直接写出点A的纵坐标m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①根据全等三角形即可解决问题；
②如图2中，取N（4，0），则OA=ON，作P₁M⊥x轴于M，首先说明P₁的运动轨迹是一条直线，求出这条直线的解析式即可解决问题；
（2）利用（1）②的结论，A（0，m）关于B的“伴随点”P（x，y），y与x之间的关系式：y=x-m或y=-x-m，由题意可知，当直线y=x-m或y=-x-m与⊙C有交点时，在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，求出这两条直线和⊙C相切时的m的值，即可解决问题；

解答 解：（1）①如图1中，作P₁M⊥x轴于M．

∵AB=BP₁，∠AOB=∠P₁MB=90°，易证∠ABO=∠P₁，
∴△ABO≌△BP₁M，
∴OA=BM，OB=P₁M，
当A（0，4），B（1，0）时，BM=4，P₁M=1，OM=5，
∴P₁（5，1），
∵P₂与P₁关于B对称，
∴P₂（-3，-1），
当A（0，4），B（-2，0）时，同法可得P₁（2，-2），P₂（-6，2），
故答案为（5，1），（-3，-1）和（2，-2），（-6，2）

②如图2中，取N（4，0），则OA=ON，作P₁M⊥x轴于M．

∵△ABO≌△BP₁M，
∴OA=BM=ON，OB=P₁M，
∴OB=MN=P₁M，
∴△P₁MN是等腰直角三角形，
∴∠P₁NM=45°，
∴点P₁在经过点N，与x轴的夹角为45°的直线上，
易知这条直线的解析式为y=x-4，
∴P₁（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，y与x之间的关系式为y=x-4，
同法可得P₂（x，y），在直线y=-x-4，
∴y与x之间的关系式：y=x-4或y=-x-4．

（2）如图3中，

由（1）可知，A（0，m）关于B的“伴随点”P（x，y），
y与x之间的关系式：y=x-m或y=-x-m，
由题意可知，当直线y=x-m或y=-x-m与⊙C有交点时，在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，
易知相切时m=±1或±5，
观察图象可知，满足条件的m的范围为：-5≤m≤-1或1≤m≤5．

点评 本题考查圆综合题、一次函数的解析式、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是发现点P的运动轨迹是直线，题目比较难，属于中考压轴题．