Question

如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半径R．

Answer 1

（1）过O点作OE⊥CD于点E，先根据切线的性质得到OA⊥AD，再根据角平分线的性质可得OE=OA，由OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，即可作出判断；（2）6

解析试题分析：（1）过O点作OE⊥CD于点E，先根据切线的性质得到OA⊥AD，再根据角平分线的性质可得OE=OA，由OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，即可作出判断；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，先根据切线的性质得到AB⊥AD，AB⊥BC，从而可证得四边形ABFD是矩形，根据矩形的性质可得AD=BF，AB=DF，从而可得FC的长，再根据切线的性质求得DC的长，在Rt△DFC中，根据勾股定理即可求得DF的长，从而求得结果.
（1）过O点作OE⊥CD于点E，

∵AM切⊙O于点A，
∴OA⊥AD，
又∵DO平分∠ADC，
∴OE=OA，
∵OA为⊙O的半径，
∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，

∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴四边形ABFD是矩形，
∴AD=BF，AB=DF，
又∵AD=4，BC=9，
∴FC=9﹣4=5，
∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，
∴DA=DE，CB=CE，
∴DC=AD+BC=4+9=13，
在Rt△DFC中，DC²=DF²+FC²，
∴DF==12，
∴AB=12，
∴⊙O的半径R是6．
考点：切线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理
点评：在证切线的问题中，一般先连接切点和圆心，再证明垂直；同时熟记切线垂直于经过切点的半径.