题目内容
19．
抛物线y=-x2+（2m+3）x+5m+$\frac{5}{2}$与x轴交于A（-1，0），B（x2，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线与y轴交于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点H，点G是线段DH上任意一点，连接GB，点P从抛物线的顶点D出发，先沿抛物线的对称轴到达点G，再沿GB到达点B，若点P在对称轴的运动速度是5v，它在直线GB上运动的速度为3v，试确定点G的位置，使得点P按照上述方法到达B所用时间最短．
分析 （1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得m的值，可求得抛物线解析式；
（2）由A、B关于对称轴对称可知QA+QC=QB+QC，可知当B、Q、C三点在一条线上时满足条件，由B、C坐标可求得直线BC的解析式，直线BC与对称轴的交点即为所求的Q点；
（3）如图2中，取G′（2，$\frac{9}{4}$），则BG′=$\frac{15}{4}$，连接BG′，作DM⊥BG′于M，GN⊥DM于N．由题意t=$\frac{DG}{5v}$+$\frac{BG}{3v}$=$\frac{1}{3v}$（$\frac{3}{5}$DG+BG），由△BHG′∽△DMG′，推出$\frac{HG′}{MG′}$=$\frac{BG′}{DG′}$，推出MG′=$\frac{3}{5}$DG′，同理证明NG=$\frac{3}{5}$DG，所以欲求$\frac{1}{3v}$（$\frac{3}{5}$DG+BG）的最小值只要求$\frac{1}{3v}$（GN+BG）的最小值，根据垂线段最短可知，当点G与G′重合时，$\frac{1}{3v}$（GN+BG）的值最小，由此即可解决问题．
解答 解：（1）把A（-1，0）代入y=-x2+（2m+3）x+5m+$\frac{5}{2}$得0=-1-2m-3+5m+$\frac{5}{2}$，解得m=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5．
（2）存在．
理由：如图1中，由A、B关于对称轴对称可知QA+QC=QB+QC，可知当B、Q、C三点在一条线上时满足条件，
对于抛物线y=-x2+4x+5，令y=0得到x=-1或5，令x=0得到y=5，
∵A（-1，0），
∴B（5，0），C（0，5），
∴直线BC的解析式为y=-x+5，
∵抛物线的对称轴为x=2，
∴Q（2，3）．
（3）如图2中，取G′（2，$\frac{9}{4}$），则BG′=$\frac{15}{4}$，连接BG′，作DM⊥BG′于M，GN⊥DM于N．
由题意t=$\frac{DG}{5v}$+$\frac{BG}{3v}$=$\frac{1}{3v}$（$\frac{3}{5}$DG+BG），
∵△BHG′∽△DMG′，
∴$\frac{HG′}{MG′}$=$\frac{BG′}{DG′}$，
∴MG′=$\frac{3}{5}$DG′，同理证明NG=$\frac{3}{5}$DG，
∴欲求$\frac{1}{3v}$（$\frac{3}{5}$DG+BG）的最小值只要求$\frac{1}{3v}$（GN+BG）的最小值，
根据垂线段最短可知，当点G与G′重合时，$\frac{1}{3v}$（GN+BG）的值最小，
此时G（2，$\frac{9}{4}$）．
点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的点评和性质、最短问题等知识，解题的关键是学会利用对称解决最小值问题，学会构造相似三角形，利用垂线段最短，解决最短问题，属于中考常考题型．
开心练习课课练与单元检测系列答案
如图，抛物线y=ax2-x-$\frac{3}{2}$与x轴正半轴交于点A（3，0）．以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF．求a的值和点E的坐标．