Question

1．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点A（-1，0），B（0，1），且与x轴有唯一交点
（1）求二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的解析式；
（2）若将（1）中的抛物线沿y轴向下平移m个单位后与x轴的两个交点分别为C、D（点C在点D的左边），当∠CBD=90°，求m的值；
（3）在（2）中平移后的抛物线上是否存在一点E，使以点C、D、B、E为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E的坐标；如若不存在，请说明理由..

Answer 1

分析 （1）由题意可知抛物线的顶点坐标为（-1，0）．设抛物线的解析式为y=（x+1）²+k，将点B（0，1）代入求得k的值即可；
（2）平移后的抛物线的解析式为y=x²+2x+1-m．令y=0得：x²+2x+1-m=0，依据一元二次方程根与系数的关系得到OC•OD=m-1，令x=0得：y=1-m，则OB=m-1，接下来证明△BCO∽△DOB，依据相似三角形的性质得到OB²=OC•OD，然后列出关于m的方程求解即可；
（3）连接BE交x轴与点F．当m=2时，抛物线的解析式为y=x²+2x-1，由以点C、D、B、E为顶点的四边形是矩形可知CD为矩形的对角线，然后可求得点F的坐标，依据两点坐标公式可得到点E的坐标，然后判断点E是否在抛物线上即可．

解答 解：（1）∵抛物线过点A（-1，0），且与x轴有唯一交点，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，0）．
设抛物线的解析式为y=（x+1）²+k，将点B（0，1）代入得：1+k=1，解得k=0，
∴抛物线的解析式为y=（x+1）²即y=x²+2x+1．
（2）平移后抛物线的解析式如图1所示：

将抛物线y=x²+2x+1沿y轴向下平移m个单位所得抛物线的解析式为y=x²+2x+1-m．
令y=0得：x²+2x+1-m=0，
∴OC•OD=m-1．
令x=0得：y=1-m．
∴OB=m-1．
∵∠CBD=90°，
∴∠CBO+∠DBO=90°．
又∵∠OCB+∠CBO=90°，
∴∠OCB=∠OBD．
又∵∠BOC=∠BOD，
∴△BCO∽△DOB．
∴$\frac{OC}{OB}$=$\frac{OB}{OD}$，即OB²=OC•OD．
∴（m-1）²=m-1，解得m=2或m=1（舍去）．
∴m的值为2．
（3）如图2所示：连接BE交x轴与点F．

当m=2时，抛物线的解析式为y=x²+2x-1．
∵以点C、D、B、E为顶点的四边形是矩形，且∠CBD=90°，
∴CD必然为矩形的对角线．
∴CF=DF．
∵点C与点D关于x=-1对称，
∴F（-1，0）．
当m=2时，B（-1，0）．
∴点E（-2，1）．
把x=-2代入得：y=-1≠1，
∴点E不在抛物线上．
∴不存在以点C、D、B、E为顶点的四边形是矩形．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的性质和判定、矩形的判定，依据相似三角形的性质列出关于m的方程是解题的关键．