Question

如图，AB=12cm，点O自A点以每秒2.5cm的速度沿射线AB方向移动，同时，点E自B点以每秒1cm的速度沿线段BA向A点移动，当E点到达A点时，O、E同时停止运动．已知∠BAM=45°，EF⊥AB交射线AM于点F，以O为圆心，OA长为半径的圆与射线AB、AF分别交于D、C两点，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求证：当t=2时，⊙O与EF相切；
（2）当t＞2时，若△DEF的面积为48cm²，求t的值；
（3）在点O、E的运动过程中，△DEF的面积是否存在最大值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题,解一元二次方程-因式分解法,二次函数的最值,切线的判定

专题：综合题

分析：（1）当t=2时，可以证到点D与点E重合，由EF⊥AB就可得到⊙O与EF相切．
（2）只需用t的代数式表示出DE、EF的长，再根据条件（△DEF的面积为48cm²）建立关于t的方程，就可求出t的值．
（3）由于DE的表示与t的范围有关，因此需分情况讨论，可分三种情况（①0＜t＜2，②t=2，③2＜t≤12），用t的代数式表示出△DEF的面积，然后运用二次函数的增减性和最值性就可解决问题．

解答：解：（1）当t=2时，AD=2OA=2×2.5×2=10，BE=1×2=2，AE=AB-BE=12-2=10，
则AE=AD，即点D与点E重合，如图1，

∵EF⊥OD，且EF经过OD的外端D（E），
∴⊙O与EF相切．

（2）当t＞2时，如图2，

由题可得：AD=2OA=2×2.5t=5t，BE=t，AE=AB-BE=12-t，
则DE=AD-AE=5t-（12-t）=6t-12．
∵EF⊥AD，∠EAF=45°，
∴∠EFA=45°=∠EAF．
∴EF=EA=12-t．
∵S_△DEF=

1

2

×DE×EF，
∴

1

2

×（6t-12）×（12-t）=48．
整理得：t²-14t+40=0，
解得：t₁=4，t₂=10．
∴t的值为4或10．

（3）①当0＜t＜2时，如图3，

则有EF=AE=AB-BE=12-t，AD=5t，DE=AE-AD=（12-t）-5t=12-6t．
∴S_△DEF=

1

2

×DE×EF=

1

2

×（12-6t）×（12-t）=3t²-42t+72
=3（t-7）²-75．
∵3＞0，
∴t＜7时，S_△DEF随着t的增大而减小．
∵当t=0时，S_△DEF=72，当t=2时，S_△DEF=0，
∴0＜S_△DEF＜72．
∴S_△DEF取不到最大值．
②当t=2时，点D与点E重合，
所以△DEF不存在，故舍去．
③当2＜t≤12时，如图2，

同理可得：S_△DEF=

1

2

×（6t-12）×（12-t）=-3t²+42t-72
=-3（t-7）²+75．
∵-3＜0，2＜7≤12，
∴当t=7时，S_△DEF取最大值，最大值为75．
综上所述：当t=7时，△DEF的面积取到最大值．

点评：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定、二次函数的增减性、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，还考查了分类讨论的思想．