Question

如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（-12，16），矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．
（1）直接写出线段BO的长；
（2）求直线BD解析式；
（3）若点N在直线BD上，在x轴上是否存在点M，使以M、N、E、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出一个满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据勾股定理即可求得；
（2）根据△OED∽△OAB，求得D点坐标，然后应用待定系数法即可求得；
（3）先根据相似求得E点的坐标，然后根据EM∥BD和直线BD的解析式为：y=-

1

2

x+10，设出解析式，把E点的坐标代入即可．

解答：解：（1）20；
（2）∵矩形ABCO中点B的坐标是（-12，16），
∴AB=12，OA=16，
设D（0，a）则OD=a，AD=ED=16-a，
在Rt△AOB与Rt△EOD中，∠AOB=∠EOD，∠OAB=∠OED=90°，
∴△OED∽△OAB，
∴

ED

AB

=

OD

OB

，即

16-a

12

=

a

20

，
解得：a=10，
∴D（0，10），
设直线DB的解析式y=kx+b经过B（-12，16），D（0，10），
∴有

16=-12k+b 10=b

，解得

k=- 1 2 b=10

，
∴直线BD的解析式为：y=-

1

2

x+10，


（3）如图2，作EG⊥x轴于G，作EM∥BD交轴与M，MN∥ED交BF于N，
∴四边形DEMN是平行四边形，
∵EG⊥x轴，BC⊥x轴，
∴EG∥BC，
∴

EG

BC

=

OG

OC

=

OE

OB

，
∵OB=20，BE=12，BC=16，OC=12，
∴OE=8，
即

EG

16

=

OG

12

=

8

20

，
∴EG=6.4，OG=4.8，
∴E（-4.8，6.4），
∵直线BD的解析式为：y=-

1

2

x+10，
∴设直线EM的解析式为：y=-

1

2

x+b，
把E（-4.8，6.4）代入得6.4=-

1

2

×（-4.8）+b，
解得；b=4，
∴直线EM的解析式y=-

1

2

x+4，
令y=0，则-

1

2

x+4=0，解得x=8，
∴M（8，0）．

点评：本题考查了待定相似法求解析式，轴对称的性质，三角形相似的判定及性质，两条直线平行其斜率相等是解题中经常用到的依据．