Question

3．（1）观察发现：如图1，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，分别以AB，BC为边，向外作正方形ABDE和正方形BCFG，连接DG．若M是DG的中点，不难发现：BM=$\frac{1}{2}$AC．
请完善下面证明思路：①先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证明BM=$\frac{1}{2}$DG；②再证明△BDG≌△BAC，得到DG=AC；所以BM=$\frac{1}{2}$AC；
（2）数学思考：若将上题的条件改为：“已知Rt△ABC，∠ABC=90°，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACHI，N是EI的中点”，则相应的结论“AN=$\frac{1}{2}$BC”成立吗？
小颖通过添加如图2所示的辅助线验证了结论的正确性．请写出小颖所添加的辅助线的作法，并由此证明该结论；
（3）拓展延伸：如图3，已知等腰△ABC和等腰△ADE，AB=AC，AD=AE．连接BE，CD，若P是CD的中点，探索：当∠BAC与∠DAE满足什么条件时，AP=$\frac{1}{2}$BE，并简要说明证明思路．

Answer 1

分析 （1）根据题意即可得到结论；
（2）过I作IK⊥EA交EA的延长线于K，根据平角的定义得到∠BAC=∠IAK，根据全等三角形的性质得到BC=IK，AB=AK，等量代换得到AE=AI，推出AN是△EKI的中位线，于是得到结论．
（3）延长BA到F，使AF=AB，连接EF，过A作AG∥BE，根据三角形中位线的性质得到AG=$\frac{1}{2}$BE，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠AEF，EF=CD，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，②△BDG≌△BAC；
故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，△BDG≌△BAC；
（2）能，
理由：过I作IK⊥EA交EA的延长线于K，
∵∠EAI+∠BAC=360°-90°-90°=180°，∠EAI+∠TAK=180°，
∵∠BAC=∠IAK，
在△ABC与△AKI中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠KAI}\\{∠ABC=∠AKI=90°}\\{AC=AI}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△AKI，
∴BC=IK，AB=AK，
∵AE=AB，
∴AE=AI，
∵N是EI的中点，
∴AN是△EKI的中位线，
∴AN=$\frac{1}{2}$IK，
∴AN=$\frac{1}{2}$BC；
（3）当∠BAC=∠DAE=90°时，AP=$\frac{1}{2}$BE，
延长BA到F，使AF=AB，连接EF，过A作AG∥BE，
∴EG=$\frac{1}{2}$EF，
∴AG=$\frac{1}{2}$BE，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAD=180°-∠BAE，
∵∠FAE=180°-BAE，
∴∠CAD=∠FAE，
在△ACD与△AFE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AF}\\{∠CAD=∠FAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△FAE，
∴∠ADC=∠AEF，EF=CD，
∵P是CD的中点，
∴DP=$\frac{1}{2}$CD，
∴EG=DP，
在△ADP与△AEG中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠ADP=∠AEF}\\{DP=EG}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△AEG，
∴AP=AG，
∴AP=$\frac{1}{2}$BE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．