Question

20．如图，点E是边长为12的正方形ABCD边BC上的一点，BE=5，点F在该正方形的边上运动，当BF=AE时，设线段AE与线段BF相交于点H，则BH的长等于$\frac{60}{13}$或$\frac{13}{2}$．

Answer 1

分析 利用勾股定理列式求出AE，再分①点F在CD上时，利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAE=∠CBF，再求出BF⊥AE，利用三角形的面积列式求解即可得到BH的长；②点F在AD上时，利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△BAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=BE，连接EF，可得四边形ABEF是矩形，再根据矩形的对角线相等且互相平分解答．

解答 解：如图，∵正方形的边长为12，BE=5，
∴AE=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
①点F在CD上时，如图1，在Rt△ABE和Rt△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=AE}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CBF+∠AEB=90°，
∴∠BHE=90°，
∴BF⊥AE，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$×13•BH=$\frac{1}{2}$×12×5，
解得BH=$\frac{60}{13}$；

②点F在AD上时，如图2，在Rt△ABE和Rt△BAF中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=AE}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），
∴AF=BE，
连接EF，则四边形ABEF是矩形，
∴BH=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{13}{2}$，
综上所述，BH的长为$\frac{60}{13}$或$\frac{13}{2}$．
故答案为：$\frac{60}{13}$或$\frac{13}{2}$；
故答案是：$\frac{60}{13}$或$\frac{13}{2}$．

点评 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．