题目内容
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，AD=24，BC=32，点P从A点出发，以1cm/s的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以3cm/s的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点，也随之停止运动．（1）从运动开始，两点运动多长时间时，PQ=CD？
（2）从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形ABQP恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
考点：正方形的判定,全等三角形的判定与性质,直角梯形
专题：动点型
分析：（1）分两种情况：①PQ∥DC，且PQ=DC；②PQ与DC不平行，但PQ=CD；
（2）假设存在某个时间，使得四边形ABQP恰好为正方形，那么AP=BQ，据此列出方程．
（2）假设存在某个时间，使得四边形ABQP恰好为正方形，那么AP=BQ，据此列出方程．
解答：
解：（1）分两种情况：
①当P、Q运动到P1D=Q1C，P1D平行且等于Q1C，
此时四边形P1DCQ1是平行四边形，此时P1Q1=CD．
设运动时间为t秒，则AP1=t，P1D=24-t，CQ1=3t，BQ1=32-3t，
∵P1D=CQ1，
∴24-t=3t，
解得t=6，
即t=6时，P1Q1=CD；
②当P、Q运动到P2，Q2时，过D，P2分别作DH⊥BC于H，P2G⊥BC于G，
当Q2G=HC=8时，△P2Q2G≌△DCH，此时P2Q2=CD．
∵CQ2=CH+HG+GQ2=CH+DP2+GQ2，
∴3t=8+（24-t）+8，
解得t=10．
综上所述，从运动开始，两点运动6秒或10秒时，PQ=CD；
（2）假设存在某个时间，使得四边形ABQP恰好为正方形．
如图．∵∠B=90°，AD∥BC，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP为矩形，
即t=32-3t，解得t=8，
此时AP=AB=8，
∴矩形ABQP为正方形，
所以当t=8时，四边形ABQP是正方形．
解：（1）分两种情况：①当P、Q运动到P1D=Q1C，P1D平行且等于Q1C，
此时四边形P1DCQ1是平行四边形，此时P1Q1=CD．
设运动时间为t秒，则AP1=t，P1D=24-t，CQ1=3t，BQ1=32-3t，
∵P1D=CQ1，
∴24-t=3t，
解得t=6，
即t=6时，P1Q1=CD；
②当P、Q运动到P2，Q2时，过D，P2分别作DH⊥BC于H，P2G⊥BC于G，当Q2G=HC=8时，△P2Q2G≌△DCH，此时P2Q2=CD．
∵CQ2=CH+HG+GQ2=CH+DP2+GQ2，
∴3t=8+（24-t）+8，
解得t=10．
综上所述，从运动开始，两点运动6秒或10秒时，PQ=CD；
（2）假设存在某个时间，使得四边形ABQP恰好为正方形．
如图．∵∠B=90°，AD∥BC，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP为矩形，
即t=32-3t，解得t=8，
此时AP=AB=8，
∴矩形ABQP为正方形，
所以当t=8时，四边形ABQP是正方形．
点评：本题考查了梯形的性质，正方形的判定，平行四边形的性质的应用，综合性较强，难度适中．
练习册系列答案
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①
+
=0；
②若
+2
=0，则m=1；
③无理数是无限小数；
④实数与数轴上的点一一对应．
①
| 3 | a |
| 3 | -a |
②若
| m-1 |
| 1-m |
③无理数是无限小数；
④实数与数轴上的点一一对应．
| A、①②④ | B、②③④ |
| C、①③④ | D、①②③④ |
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