题目内容
11．如图甲，已知△ABC，AB=AC=4，∠A=90°，取含45°角的直角三角尺，将45°角的顶点放在BC的中点O处，并绕点O顺时针旋转三角尺，当45°角的两边分别与AB，AC交于点E，F时，连接EF，如图乙．（1）指出图乙中一对相似三角形，并给出证明．
（2）设CF=x，BE=y，试求y与x的函数解析式，并指出x为何值时△OEF为等腰三角形；
（3）探究在三角尺绕点O旋转的过程中，△AEF的周长是否为定值？若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．
分析 （1）根据两个角相等的两个三角形相似证明；
（2）根据△EBO∽△OCF，得到$\frac{BE}{OC}$=$\frac{BO}{CF}$，把x、y代入计算即可，根据对应边相等的相似三角形全等解答；
（3）连接OA，在AC上取CH=AE，连接OH，证明△AEO≌△HCO，△EOF≌△HOF即可．
解答 解：（1）△EBO∽△OCF，
证明：∵∠EOF=45°，
∴∠BOE+∠COF=135°，
∵∠B=45°，
∴∠BOE+∠BEO=135°，
∴∠BEO=∠COF，又∠B=∠C=45°，
∴△EBO∽△OCF；
（2）∵△EBO∽△OCF，
∴$\frac{BE}{OC}$=$\frac{BO}{CF}$，
∴xy=4，即y=$\frac{4}{x}$，
∵AB=AC=4，∠A=90°，
∴BC=4$\sqrt{2}$，
当CF=OB=2$\sqrt{2}$时，△EBO≌△OCF，
则OE=OF，
∴x=2$\sqrt{2}$时，△OEF为等腰三角形；
（3）
连接OA，在AC上取CH=AE，连接OH，
在△AEO和△HCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠EAO=∠HCO}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△HCO，
∴OE=OH，∠EOA=∠HOC，
∴∠EOF=∠FOH=45°，
在△EOF和△HOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OH}\\{∠EOF=∠HOF}\\{OF=OF}\end{array}\right.$，
∴△EOF≌△HOF，
∴FH=EF，
∴△AEF的周长=AE+AF+EF=AF+FH+HC=AB=4，
∴△AEF的周长为定值，这个定值是4．
点评 本题考查的是相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理并灵活运用是解题的关键．
阅读快车系列答案
如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BO于O，∠B=55°，则∠BOC的度数为（ ）| A． | 45° | B． | 35° | C． | 70° | D． | 80° |
△ABC的内切圆⊙O的半径为3，点D、E、F为切点．△ABC的周长为18，求△ABC的面积．
如图，网格平面直角坐标系中，组成网格的每个小正方形的边长为单位1．| A． | x（x+1）=182 | B． | x（x-1）=182 | C． | x（x-1）=182×2 | D． | x（x+1）=182×2 |