Question

4．如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：$\sqrt{3}$（即tan∠DEM=1：$\sqrt{3}$），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上．
（1）求D点距水平面EN的高度？（保留根号）
（2）求条幅AB的长度？（结果精确到1米）（参考数据：$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{2}$≈1.41）

Answer 1

分析 （1）利用坡度和DE直接求出D点距水平面EN的高度；
（2）借助（1）得出的结论，可求出DH的长，在直角三角形ADH中，可求出AH的长，进而可求出AN的长，在直角三角形CNB中可求出BN的长，利用AB=AH-BN计算即可．

解答 解：（1）如图，过点D作DG⊥MN于G，
在Rt△DEG中，坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：$\sqrt{3}$，
∴tan∠DEM=$\frac{DG}{EG}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DEM=30°，
∴EG=10$\sqrt{3}$米，DG=$\frac{1}{2}$DE=10米；
∴D点距水平面EN的高度为10米．
（2）如图，过点D作DH⊥AN于H，
由（1）知，DG=10米，EG=10$\sqrt{3}$米，
∵DH=EG+EC+CN=（10$\sqrt{3}$+30）米，∠ADH=30°，
∴AH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×DH=（10+10$\sqrt{3}$）米，
∴AN=AH+DG=（20+10$\sqrt{3}$）米，
∵∠BCN=45°，
∴CN=BN=20米，
∴AB=AN-BN=10$\sqrt{3}$≈17米，
答：条幅AB的长度是17米．

点评 此题是解直角三角形的应用--仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．