Question

8．如图，一次函数y=kx+1图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于P、Q两点，过点P作PA⊥x轴，一次函数图象分别交x轴、y轴于C、D两点，$\frac{CD}{CP}$=$\frac{1}{3}$，且A（4，0）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△ADP的面积；
（3）求反比例函数值大于一次函数值时，自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数的解析式得到D（0，1），根据相似三角形的性质得到AP=3，即P（4，-3），把P点的坐标分别代入反比例解析式代入y=kx+1中即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据题意解方程得到Q（-3，4），P（4，-3），于是得到结论．

解答 解：（1）对于y=kx+1，x=0，得到y=1，即D（0，1），
∵AP∥y轴，△ODC∽△APC
∴$\frac{CD}{CP}=\frac{OC}{AC}=\frac{OD}{AP}=\frac{1}{3}$，
∵OD=1，
∴AP=3，即P（4，-3），
∴OC=1，AC=2，
把P点的坐标代入反比例解析式得：m=-12，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{12}{x}$，
把P点的坐标代入y=kx+1中得：-3=4k+1，即k=-1，
∴一次函数解析式为y=-x+1；

（2）∵S_△ADP=S_△ADC+S_△ACP=$\frac{1}{2}$A C•OD+$\frac{1}{2}$A C•AP=1+3=4；

（3）由题意得：-x+1=-$\frac{12}{x}$，
解得：x₁=-3，x₂=4．
此时y₁=4，y₂=-3，
∴Q（-3，4），P（4，-3），
则由图象得：当x＞4或-3＜x＜0时，反比例函数值大于一次函数值．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是解本题的关键．