Question

如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）P点的坐标为，的最大值为；（3）Q（－，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）．

【解析】

试题分析：（1）设抛物线的解析式为，根据已知得到C（0，﹣3），A（﹣1，0），代入得到方程组，求出方程组的解即可；

（2）过点P作y轴的平行线与AG交于点F，求出点G的坐标（2，﹣3），设直线AG为，代入得到，求出方程组的解得出直线AG为，设P（x，），则F（x，﹣x﹣1），PF，根据三角形的面积公式求出△APG的面积，化成顶点式即可；

（3）存在．根据MN∥x轴，且M、N在抛物线上，得到M、N关于直线x=1对称，设点M为（m，）且m＞1，得到MN=2（m﹣1），当∠QMN=90°，且MN=MQ时，由△MNQ为等腰直角三角形，得到，求出m的值，得出点M和点Q的坐标；当∠QNM=90°，且MN=NQ时，同理可求点Q的坐标，当∠NQM=90°，且MQ=NQ时，过Q作QE⊥MN于点E，则QE=MN，根据抛物线及等腰直角三角形的轴对称性，得到点Q的坐标．

试题解析：（1）设抛物线的解析式为，

由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0），

∴，解得，

∴抛物线的解析式为；

（2）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，

由，令x=2，则y=－3，∴点G为（2，－3），

设直线AG为，∴，解得：，即直线AG为，

设P（x，），则F（x，－x－1），PF．

∵，

∴当时，△APG的面积最大，此时P点的坐标为，

（3）存在．

∵MN∥x轴，且M、N在抛物线上，∴M、N关于直线x=1对称，

设点M为（，）且，∴，

当∠QMN=90°，且MN=MQ时，△MNQ为等腰直角三角形，∴MQ⊥MN即MQ⊥x轴，

∴，即或，

解得，（舍）或，（舍），

∴点M为（，）或（，），∴点Q为（，0）或（，0），

当∠QNM=90°，且MN=NQ时，△MNQ为等腰直角三角形，同理可求点Q为（－，0）或（，0），

当∠NQM=90°，且MQ=NQ时，△MNQ为等腰直角三角形，

过Q作QE⊥MN于点E，则QE=MN，，

∵方程有解，∴由抛物线及等腰直角三角形的轴对称性知点Q为（1，0），

综上所述，满足存在满足条件的点Q，分别为（－，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）．

考点：1．二次函数综合题；2．等腰直角三角形．