Question

10．如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O外，OC⊥OA，并交AB于点P，且CP=CB．
（1）判断CB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为3，OP=1，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据等边对等角得∠CPB=∠CBP，根据垂直的定义得∠OBC=90°，即OB⊥CB，则CB与⊙O相切；
（2）设BC=CP=x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得出CP=4，再在Rt△OBC中，由勾股定理得出AP，作CH⊥AB，可证明△OAP∽△HCP，得出HP，由垂径定理得出PB=2PH，即可得出AB=AP+PB的长．

解答 解：（1）∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∵CP=CB
∴∠CPB=∠CBP
在Rt△AOP中
∠A+∠APO=90°
∴∠OBA+∠CBP=90°  即：∠OBC=90°
∴OB⊥CB
又∵OB是半径
∴CB与⊙O相切；

（2）设BC=CP=x
在Rt△OBC中
OC²=BC²+OB²
即：（x+1）²=x²+3²
解之得：x=4，即：CP=4
在Rt△OBC中
AP=$\sqrt{O{A}^{2}+O{P}^{2}}$=$\sqrt{9+1}$=$\sqrt{10}$
作CH⊥AB于H
∵∠AOP=∠CHP=90°，∠APO=∠CPH
∴△OAP∽△HCP
∴$\frac{OP}{HP}$=$\frac{AP}{CP}$，即$\frac{1}{HP}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴HP=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$
∵CB=CP，CH⊥PB
∴PB=2PH=$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$
∴AB=AP+PB=$\frac{9}{5}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了直线和圆的位置关系，以及勾股定理、垂径定理，是一道综合性的题目，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．