Question

11．如图，双曲线y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＜0）经过A（-2，3），双曲线y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x₂＞0）经过C点，D点在y轴正半轴上，B（1，0）点在x轴的正半轴上，若四边形ABCD是矩形．
（1）求双曲线y₁（x＜0）的解析式；
（2）双曲线y₂（x＞0）解析式．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据平行线的性质求得OF=1，进而求得△BOF是等腰直角三角形，从而求得△AGD是等腰直角三角形，进一步求得△ADG≌△BCH，即可求得C坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y₂（x＞0）解析式．

解答 解：（1）∵双曲线y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＜0）经过A（-2，3），
∴k₁=-2×3=-6，
∴y₁=-$\frac{6}{x}$（x＜0）；
（2）设AB与y轴的交点为F，作AE∥y轴，交x轴于E，作AG∥x轴，交y轴于G，
∴$\frac{OF}{AE}$=$\frac{OB}{EB}$，
∵A（-2，3），B（1，0），
∴AE=OG=3，OE=AG=2，OB=1，
∴$\frac{OF}{3}$=$\frac{1}{1+2}$，
∴OF=1，
∴OF=OB，
∴∠OFB=45°，
∴∠AFD=45°，
∵∠BAD=90°，
∴∠ADO=45°，
∴AG=2，
∴DG=AG=2，
∵∠ABO=45°，∠ABC=90°，
∴∠CBH=45°，
∴△BCH是以BC为斜边的等腰直角三角形，
∵AD=BC，
∴△ADG≌△BCH，
∴BH=AG=GH=DG=2，
∴C（3，2），
∵双曲线y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x₂＞0）经过C点，
∴k₂=2×3=6，
∴y₂=$\frac{6}{x}$（x＞0）．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及矩形的性质，求得C点的坐标是解题的关键．