Question

4．如图，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，且AD=4，点P是射线AB上一动点，连接DP，△PAD的外接圆于AC交于点Q，则线段QP的最小值是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据圆周角定理求出∠DQP=∠DPQ=60°，求出△PDQ是等边三角形，推出PQ=DP，求出PD的最小值，即可得出答案．

解答 解：连接DQ，

∵∠BAC=120°，AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB=60°，
∴∠DQP=∠DAB=60°，∠DPQ=∠DAC=60°，
∴∠DQP=∠DPQ=60°，
∴△PDQ是等边三角形，
∴DP=PQ，
在△DAP中，由余弦定理得：DP²=AD²+AP²-2•AD•AP•cos∠DAP，
∵∠DAP=60°，AD=4，
∴DP²=PA²-4PA+16=（PA-2）²+12，
即当PA=2时，DP²有最小值12，
即DP=2$\sqrt{3}$，
∴PQ的最小值是2$\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理，等边三角形的性质和判定的应用，能求出DP的长是解此题的关键．