Question

20．已知关于x的一元二次方程x²+mx+$\frac{1}{2}$m-1=0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）选择一个m的值，并求出此时方程的根．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（m-1）²+3＞0，由此即可证出此方程有两个不相等的实数根；
（2）取m=0，再利用分解因式法解一元二次方程，即可得出方程的解．

解答 （1）证明：△=m²-4（$\frac{1}{2}$m-1）=m²-2m+4=（m-1）²+3．
∵（m-1）²+3＞0，即△＞0，
∵无论m取何值时，（m-1）²≥0，
∴（m-1）²+3＞0，即△＞0．
∴此方程有两个不相等的实数根．
（2）解：取m=0，此时原方程为x²-1=（x+1）（x-1）=0，
解得：x₁=1，x₂=-1．

点评 本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）熟练掌握一元二次方程的各种解法．