Question

13．若三角形的一边和该边上的高相等的三角形称为“和谐三角形”，如图，已知抛物线y=ax²经过A（-1，1），P是y轴正半轴上的动点，射线AP与抛物线交于另一点B，当△AOP是“和谐三角形”时，点B的坐标为（2，4）和（1，1）．

Answer 1

分析 先把A点坐标代入y=ax²得a的值，从而确定抛物线解析式为y=x²，再利用点A的坐标得到∠AOP=45°，OA=$\sqrt{2}$，接着根据新定义讨论：当点A到OP的距离等于OP时，即OP=1，此时AP⊥y轴，利用抛物线的对称性得到B点坐标；当点P到OA的距离等于OA时，即点P到OA的距离等于$\sqrt{2}$，利用等腰直角三角形的性质得OP=2，易得此时直线AP的解析式为y=x+2，然后解方程x²=x+2得B点坐标；当点O到OP的距离等于AP时，仍然得到OP=1或OP=2．

解答 解：把A（-1，1）代入y=ax²得a=1，
∴抛物线解析式为y=x²，
∵A（-1，1），
∴∠AOP=45°，OA=$\sqrt{2}$，
∵△AOP是“和谐三角形，
∴当点A到OP的距离等于OP时，即OP=1，此时AP⊥y轴，点A与点B关于y轴对称，则B（1，1）；
当点P到OA的距离等于OA时，即点P到OA的距离等于$\sqrt{2}$，则OP=2，
此时直线AP的解析式为y=x+2，解方程x²=x+2得x₁=-1，x₂=2，则B（2，4）；
同样当点O到OP的距离等于AP时，得到OP=1或OP=2．
综上所述，点P的坐标为（2，4）和（1，1）．
故答案为（2，4）和（1，1）

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了等腰直角三角形的性质和分类讨论思想的应用．