Question

设A₀，A₁，…，A_n-1依次是面积为整数的正n边形的n个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形，如四边形A₃A₄A₅A₆、七边形A_n-2A_n-1A₀A₁A₂A₃A₄等，如果所有这样的凸多边形的面积之和是231，那么n的最大值是

 

，此时正n边形的面积是

 

．

Answer 1

分析：先通过找规律找出P与n的关系式 P=

1

2

n²-

3

2

n+1，再化为P=

1

2

（n-

3

2

）²+

1

8

，由于n≥3，故P值越大，n取值越大． 在凸多边形面积之和为231时，由于正n边形的面积为整数，故其面积取最小值1时，P值最大，从而得出关于n的方程求解即可．

解答：解：用找规律找出P与n的关系式
不难发现，P与n有下表所列的关系

n	3	4	5	6
P	1 （0+1）=（3-3）×3÷2+1	3 （2+1）=（4-3）×4÷2+1	6 （5+1）=（5-3）×5÷2+1	10 （6+3+1）=（6-3）×6÷2+1

因此，P=（n-3）•n÷2+1，即P=

1

2

n²-

3

2

n+1．
P=

1

2

n²-

3

2

n+1可以化为P=

1

2

（n-

3

2

）²+

1

8

，
由于n≥3，故P值越大，n取值越大．
在凸多边形面积之和为231时，由于正n边形的面积为整数，
故其面积取最小值1时，P值最大
代入各值，得：231÷1=

1

2

n²-

3

2

n+1，
整理得：n²-3n-460=0
解得n=23或n=-20（不合题意，舍去）
故n=23为最大值，此时正23边形的面积为1． 
故答案为：23，1．

点评：本题考查了面积及等积变换，解题的关键是得出P与n的关系式，确定面积取最小值1时，P值最大．