Question

设x，y为实数，满足x+y=1，x4+y4=

7

2

，则x²+y²的值是

 

．

Answer 1

考点：完全平方公式,解一元二次方程-因式分解法

专题：计算题

分析：根据完全平方公式有（x²+y²）²=x⁴+y⁴+2x²y²，把x⁴+y⁴=

7

2

，且设x²+y²=t＞0，则t²=2x²y²+

7

2

，再把x+y=1两边平方得到x²+2xy+y²=1，则xy=

1-t

2

，这样可得到关于t的一元二次方程t²=2•（

1-t

2

）²+

7

2

，整理、解方程得到t₁=2，t₂=-4，然后根据x²+y²=t＞0检验即可得到x²+y²的值．

解答：解：∵（x²+y²）²=x⁴+y⁴+2x²y²，
而x⁴+y⁴=

7

2

，
设x²+y²=t＞0，
∴t²=2x²y²+

7

2

，
又∵x+y=1，
∴（x，+y）²=x²+2xy+y²=1，
∴xy=

1-t

2

，
∴t²=2•（

1-t

2

）²+

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，
∴t²+2t-8=0，即（t-2）（t+4）=0，
∴t₁=2，t₂=-4，
当t=-4时，x²+y²=-4无意义，
∴t=2，即x²+y²=2．
故答案为2．

点评：本题考查了完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²．也考查了利用因式分解法解一元二次方程以及换元法思想的运用．