Question

2．在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（x、y）、（x+6，y），线段AB的一个三等分点M（m，n）到x轴的距离是3，到y轴的距离是到x轴距离的2倍，且mn＞0，m+n＜0．
（1）请回答：①点B可以看作是将点A怎样平移得到的？②直线AB与y轴有怎样的位置关系？
（2）求点A的坐标；
（3）直线CD∥x轴，且位于AB的下方，点E（a，b）、F（a-b，b）都在直线CD上，用含有b的式子表示三角形MEF的面积．

Answer 1

分析 （1）①根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减即可求解；
②由于点A、B的横坐标不同，纵坐标相同，可知直线AB与y轴互相垂直；
（2）由M（m，n）到x轴的距离是3，到y轴的距离是到x轴距离的2倍，可得|n|=3，|m|=6，再根据mn＞0，m+n＜0可得m＜0，n＜0，那么m=-6，n=-3，然后
根据一条线段的三等分点有两个分两种情况进行讨论即可求解；
（3）根据三角形的面积公式即可求解．

解答 解：（1）①∵点A、B的坐标分别为（x、y）、（x+6，y），
∴点B可以看作是将点A向右平移6个单位得到的；
②∵点A、B的坐标分别为（x、y）、（x+6，y），
∴AB与y轴互相垂直；

（2）∵M（m，n）到x轴的距离是3，到y轴的距离是到x轴距离的2倍，
∴|n|=3，|m|=6，
解得m=±6，n=±3．
∵mn＞0，m+n＜0，
∴m＜0，n＜0，
∴m=-6，n=-3，即M（-6，-3）．
∵点M是线段AB的一个三等分点，AB⊥y轴，
∴点A的纵坐标与点M的纵坐标相同是-3，即y=-3．
分两种情况：
①如果点M是靠近点A的一个三等分点，那么BM=2AM，
即x+6-（-6）=2（-6-x），解得x=-8，即点A坐标为（-8，-3）；
②如果点M是靠近点B的一个三等分点，那么AM=2BM，
即（-6-x）=2[x+6-（-6）]，解得x=-10，即点A坐标为（-10，-3）；
综上所述，点A的坐标为（-8，-3）或（-10，-3）；

（3）∵直线CD∥x轴，且位于AB的下方，
∴b＜-3．
∵点E（a，b）、F（a-b，b），
∴EF=|a-b-a|=|b|=-b，
∵M到EF的距离为-3-b，
∴三角形MEF的面积=$\frac{1}{2}$×（-b）（-3-b）=$\frac{1}{2}$b²+$\frac{3}{2}$b．

点评 本题考查了一次函数的性质，坐标与图形变化-平移，线段的三等分点，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出m与n的值是解题的关键．