Question

19．以满足|x|+|y|=1的所有的对数（x，y）为坐标原点，构成了一个正方形MNPQ（如图所示），这个正方形被直线l：y=ax-a-1分成了两部分．
（1）求证：无论a为何值，直线l恒过点A，求A点的坐标，并用a表示l与MQ的交点C的坐标；
（2）当a在什么范围时，l分别与MN，PN，PQ有交点（只要求结论）；
（3）当l与PN交于D点时，设四边形CMND的面积为S，求S关于a的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）把函数解析式变形成a（x-1）-1的形式，即可得到不论a取何值，当x=1时，y=-1，则一定过点（1，-1），求得直线MQ的解析式，然后解MQ的解析式和l的解析式组成的方程组即可求得C的坐标；
（2）求出直线l经过M、N、P、Q时对应的a的值，即可判断；
（3）首先求得PN的解析式，与l的解析式组成方程组求得D的坐标，则DN和CM的长即可求得，然后利用直角梯形的面积公式即可求得函数解析式．

解答 解：（1）y=ax-a-1=a（x-1）-1，
不论a取何值，当x=1时，y=-1，则一定过点（1，-1）．
则A的坐标是（1，-1）．
设MQ的解析式是y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{k=1}\end{array}\right.$，
则MQ的解析式是y=x-1．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=ax-a-1}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a}{a-1}}\\{y=\frac{1}{a-1}}\end{array}\right.$，
则C的坐标是（$\frac{a}{a-1}$，$\frac{1}{a-1}$）；
（2）当y=ax-a-1经过点M（1，0）时，a-a-1=0，不成立，
当y=ax-a-1经过点N（0，1）时，-a-1=1，解得：a=-2，
当y=ax-a-1经过点（-1，0）时，-a-a-1=0，解得：a=-$\frac{1}{2}$，
当y=ax-a-1经过点（0，-1）时，a-1=-1，解得a=0．
则直线于MN有交点时，-2＜a＜0，
当直线与PN有交点时，-2≤a＜-$\frac{1}{2}$；
当直线与PQ有交点时-$\frac{1}{2}$≤a＜0；
（3）设直线PN的解析式是y=mx+n，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{n=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
则直线PN的解析式是y=x+1．
则$\left\{\begin{array}{l}{y=ax-a-1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a+2}{a-1}}\\{y=\frac{2a+1}{a-1}}\end{array}\right.$，
则D的坐标是（$\frac{a+2}{a-1}$，$\frac{2a+1}{a-1}$）．
则DN=$\sqrt{（\frac{a+2}{a-1}）^{2}+（1-\frac{2a+1}{a-1}）^{2}}$=$|\frac{a+2}{a-1}|$$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}（a+2）}{1-a}$，
CN=$\sqrt{（1-\frac{a}{a-1}）^{2}+（\frac{1}{a-1}）^{2}}$=$\sqrt{2}$•|$\frac{1}{1-a}$|=$\frac{\sqrt{2}}{1-a}$，
则S=$\frac{1}{2}$（DN+CN）•MN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×[$\frac{\sqrt{2}（a+2）}{1-a}$+$\frac{\sqrt{2}}{1-a}$]=$\frac{a+2+1}{1-a}$=$\frac{a+3}{1-a}$．

点评 本题是待定系数法求函数解析式与梯形的面积的综合应用，在本题中解关于a的方程组求得C和D的坐标是关键．