Question

11．如图所示，点E是正方形ABCD的边CD上的一点，点F是BC边延长线上的一点，且有BE=DF，BE的延长线交DF于点G．
求证：BE⊥DF．

Answer 1

分析 通过全等三角形△BCE≌△DCF的对应角∠EBC=∠FDC、对顶角∠BEC=∠DEG可以证得△BCE∽△DGE，然后由相似三角形的对应角相等推知∠BCE=∠DGE=90°，即BE⊥DF．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCE=∠DCF=90°，
在△BCE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCE=∠DCF=90°}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠EBC=∠FDC（全等三角形的对应角相等），
即∠EBC=∠EDG，
又∵∠BEC=∠DEG，
∴△BCE∽△DGE，
∴∠BCE=∠DGE=90°（相似三角形的对应角相等），
即BE⊥DF．

点评 此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判断和性质，关键是证明△BCE≌△DCF，掌握全等三角形对应角相等．