题目内容

如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．
（1）当t=
 
s时，四边形EBFB′为正方形；
（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在实数t，使得点B′在射线BO上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）根据四边形EBFB′为正方形，得出BE=BF，从而得出10-t=3t，求出t的值即可；
（2）分两种情况讨论，若△EBF∽△FCG和△EBF∽△GCF时，分别得出
EB
FC
=
BF
CG
，
EB
CG
=
BF
FC
，求出符合条件的t的值即可；
（3）根据题意先假设存在，分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，得出不存在．
解答：解：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，
即：10-t=3t，
解得t=2.5；
则t=2.5s时，四边形EBFB′为正方形；
故答案为：2.5；

（2）根据题意分两种情况讨论：
①若△EBF∽△FCG，
则有
EB
FC
=
BF
CG
，即
10-t
12-3t
=
3t
1.5t
，
解得：t=2.8；
②若△EBF∽△GCF，
则有
EB
CG
=
BF
FC
，即
10-t
1.5t
=
3t
12-3t
，
解得：t=-14-2
69
（不合题意，舍去）或t=-14+2
69
．
∴当t=2.8s或t=（-14+2
69
）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似．

（3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合．
如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=
1
2
BC-BF=6-3t，OM=5，
由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，
即：52+（6-3t）2=（3t）2
解得：t=
61
36
，
过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10-t，EN=BE-BN=10-t-5=5-t，ON=6，
由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，
即：62+（5-t）2=（10-t）2
解得：t=3.9．
∵
61
36
≠3.9，
∴不存在实数t，使得点B′与点O重合．
点评：本题考查了相似形的综合，用到的知识点是矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点，注意第（2）问中，需要分类讨论，不要漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在．
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；
（2）已知：如图3，AB∥CD，∠ABF=∠DCE．∠BFE与∠FEC的关系是
 
．
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7
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．
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．

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