Question

10．已知函数y=kx²-（3k+1）x+2（k+1）
（1）若该函数的图象与坐标轴只有两个交点，求k的值．
（2）当k取不同数值时可以得到不同的函数图象，请直接写出这些图象必定经过的点的坐标；
（3）对于任意正实数k，都有当x＜m时，y随x的增大而减小，请求出m的最大整数值．

Answer 1

分析 （1）因为k的值不确定，所以要分两种情况分别讨论求出k的值即可；
（2）把函数y=kx²-（3k+1）x+2（k+1）表达式变形为y+x-2=k（x²-3x+2），由条件k取不同数值时可以得到不同的函数图象，即可求出x和y的值，进而可求出图象必定经过的点的坐标；
（3）因为k为正实数，所以此函数为二次函数，由已知条件易求抛物线的对称轴，结合条件当x＜m时，y随x的增大而减小，即可求出m的最大整数值．

解答 解：（1）当k=0时，y=-x+2，此时与坐标轴有两个交点；
当k≠0时，△=（k-1）²=0，
解得k=1，
当k+1=0，即k=-1时，函数的图象过（0，0）和（2，0），与坐标轴也只有两个交点，
∴k=0或±1时函数与坐标轴有两个交点；
（2）∵y=kx²-（3k+1）x+2（k+1），
∴y+x-2=k（x²-3x+2），
∵当k取不同数值时可以得到不同的函数图象，
∴y+x-2=0．x²-3x+2）=0，
∴x=1，y=1，或x=2，y=0，
∴这些图象必定经过的点的坐标是（1，1）（2，0）
（3）∵k＞0，
∴此函数为二次函数，对称轴为$x=\frac{3}{2}+\frac{1}{2k}$＞$\frac{3}{2}$，
∴当m＜$\frac{3}{2}$时，对任意k值y都随x的增大而减小，
∴m=1．

点评 此题主要考查了抛物线与x轴交点问题以及二次函数与一元二次方的关系，（3）小题中根据二次函数图象上点的特征得出m的值是解题关键．