Question

如图，矩形FGHN内接于△ABC，FG在BC上，NH分别在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交NH于E，AD=8cm，BC=24cm，
（1）△ABC∽△ANH成立吗？试说明理由；
（2）设矩形的一边长NF=x，求矩形FGHN的面积y与x的关系式．
（3）你能求出矩形FGHN的面积y的最大值吗？

Answer 1

分析：（1）相似，根据矩形的性质可得NH∥BC，进而判定△ABC∽△ANH；
（2）矩形面积为长×宽和矩形的一边长NF=x，再把另一边用x表示出来，求出面积表达式即可；
（3）把（2）中的二次函数表达式配方即可求出矩形FGHN的面积y的最大值．

解答：（1）证明：∵四边形NFGH是矩形，
∴NH∥FG，
∴△ABC∽△ANH；

（2）解：∵NF=x，AD⊥BC于D，交NH于E，
∴ED=NF=x，
∴AE=AD-ED=8-x，
∵△ABC∽△ANH，
∴

NH

BC

=

AE

AD

，
∴

NH

24

=

8-x

8

∴NH=24-3x，
∴矩形FGHN的面积y=NF•NH=x（24-3x）=-3x²+24x；

（3）解：由（2）可知y=-3x²+24x=-3（x-4）²+48，
∴当x=4时，矩形FGHN的面积y的最大值是48．

点评：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及用配方法求二次函数的最值，题目设计的层次性较好，综合性较好．