Question

11．在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于A，B两点，若A（4，1），点B的横坐标为-2．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）若一次函数y=kx+b的图象交x轴于点C，交y轴于点D，点E在y轴正半轴上，若以E，O，C为顶点的三角形与△OCD相似，求但E的坐标．

Answer 1

分析 （1）由一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于C、D两点，与反比例函数y=$\frac{m}{x}$交于A、B两点．已知点A坐标为（4，1），点B的横坐标为-2，利用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求得C、D的坐标，从而求得OC=2，OD=1，然后分别从△EOC∽△DOC和△COE∽△DOC两种情况求得OD的长，即可求得答案．

解答 解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴1=$\frac{m}{4}$，
解得：m=4，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{4}{x}$；
∵点B的横坐标为-2，
∴y=$\frac{4}{-2}$=-2，
∴点B（-2，-2），
将点A与B代入一次函数解析式，可得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=1}\\{-2k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-1；

（2）∵一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于C、D两点，
∴C（2，0），D（0，-1），
∴设E（0，n），
∵点E在y轴正半轴上，
∴OE=n，
若△EOC∽△DOC，
则$\frac{OE}{OD}$=$\frac{OC}{OC}$=1，
∴OE=OD=1，
∴E（0，1），
若△COE∽△DOC，
则$\frac{OC}{OD}$=$\frac{OE}{OC}$，
即$\frac{2}{1}$=$\frac{OE}{2}$
∴OE=4，
∴点E（0，4）
综上可得：点E的坐标为：（0，1）或（0，4）．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求解析式．此题难度适中，注意掌握方程思想与分类讨论思想的应用．