Question

3．如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0，-$\frac{5}{2}$）三点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标．
（Ⅲ）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），再把A（-1，0），B（5，0），C（0，-$\frac{5}{2}$）三点代入求出a、b、c的值即可；
（Ⅱ）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；
（Ⅲ）分点N在x轴下方和上方两种情况进行讨论．

解答 解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
∵A（-1，0），B（5，0），C（0，-$\frac{5}{2}$）三点在抛物线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{25a+5b+c=0}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$；

（Ⅱ）∵抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$，
∴其对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-2}{2×\frac{1}{2}}$=2，
连接BC，如图1所示，

∵B（5，0），C（0，-$\frac{5}{2}$），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
当x=2时，y=1-$\frac{5}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
∴P（2，-$\frac{3}{2}$）；

（Ⅲ）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形．
如图2所示，

①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，-$\frac{5}{2}$），
∴N₁（4，-$\frac{5}{2}$）；
②当点N在x轴上方时，
如图，过点N₂作N₂D⊥x轴于点D，
在△AN₂D与△M₂CO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠{N}_{2}AD=∠C{M}_{2}O}\\{A{N}_{2}=C{M}_{2}}\\{∠A{N}_{2}D=∠{M}_{2}CO}\end{array}\right.$
∴△AN₂D≌△M₂CO（ASA），
∴N₂D=OC=$\frac{5}{2}$，即N₂点的纵坐标为$\frac{5}{2}$．
∴$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{2}$，
解得x=2+$\sqrt{14}$或x=2-$\sqrt{14}$，
∴N₂（2+$\sqrt{14}$，$\frac{5}{2}$），N₃（2-$\sqrt{14}$，$\frac{5}{2}$）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，-$\frac{5}{2}$），（2+$\sqrt{14}$，$\frac{5}{2}$）或（2-$\sqrt{14}$，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．