Question

（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．

求∠AEB的大小；

（2）如图，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.

Answer 1

解：（1）如图

∵ △BOC和△ABO都是等边三角形，

且点O是线段AD的中点，

  ∴ OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°,

  ∴ ∠4=∠5.

 又∵∠4+∠5=∠2=60°,

  ∴ ∠4=30°

同理，∠6=30°.

  ∵ ∠AEB=∠4+∠6,

  ∴ ∠AEB=60°.

（2）如图.

 

∵ △BOC和△ABO都是等边三角形，

∴ OD=OC, OB=OA,∠1=∠2=60°，

又∵OD=OA,

  ∴ OD＝OB，OA＝OC，

  ∴ ∠4=∠5，∠6=∠7.

∵ ∠DOB=∠1+∠3,

     ∠AOC=∠2+∠3,

∴∠DOB=∠AOC.

∵ ∠4+∠5+∠DOB=180°, ∠6+∠7+∠AOC=180°,

∴ 2∠5=2∠6,

∴ ∠5=∠6

又∵ ∠AEB=∠8-∠5， ∠8=∠2+∠6，

  ∴ ∠AEB＝∠2＋∠5－∠5＝∠2，

  ∴ ∠AEB＝60°.