Question

如图△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°．
（1）判断CD与BE有怎样的数量关系；
（2）探索DC与BE的夹角的大小；
（3）求证：FA平分∠DFE；
（4）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的数量关系和位置关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）由条件可证明△ADC≌△ABE，可得到CD=BE；
（2）设BE和AC交于点R，可知∠AEB=∠ACD，结合对顶角和三角形内角和定理，可得到∠EFC=90°；
（3）分别过A作AS⊥DC，AG⊥BE，由（1）全等可证得AS=AG，根据角平分线的判定可得到FA平分∠DFE；
（4）过B作BN∥AC，使得BN=AC，可得四边形ABNC为平行四边形，根据平行四边形的性质得到BN=AC=AE，∠BAC+∠ABN=180°，再根据∠BAC+∠DAE=180°即可求得∠DAE=∠ABN，即可证明△DAE≌△ABN，可得∠BAN=∠ADH，再根据∠DAH+∠BAN=90°，即可求得∠AHD=90°，且DE=AN=2AM．

解答：解：（1）∵△ABD和△ACE为等腰直角三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC，
∴∠DAC=∠EAB，
在△ADC和△ABE中，

AD=AB ∠DAC=∠EAB AC=AE

，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE；
（2）设BE交AC于点R，如图1，

由（1）可知∠AEB=∠ACD，且∠ARE=∠FRC，
∴∠AER+∠ARE=∠FCR+∠FRC，
∴∠EFC=∠EAR=90°，
即DC和BE的夹角为90°；
（3）证明：如图2，分别过A作AS⊥DC，AG⊥BE，

由（1）可知∠ADS=∠ABG，
在△ADS和△ABG中，

∠ADS=∠ABG ∠ASD=∠AGB AD=AB

，
∴△ADS≌△ABG（AAS），
∴AS=AG，
∴FA平分∠DFE；
（4）过B作BN∥AC，使得BN=AC，则四边形ABNC为平行四边形，延长MA交DE于H，

则BN=AC，
∵AC=AE，
∴BN=AE，
∵∠BAC+∠DAE=180°，∠BAC+∠ABN=180°，
∴∠DAE=∠ABN，
在△DAE和△ABN中，

AD=AB ∠DAE=∠ABN AE=BN

，
∴△DAE≌△ABN（SAS），
∴∠BAN=∠ADH，AN=DE，
∴DE=2AM，
∵∠DAH+∠BAN=90°，
∴∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠AHD=90°，即AM⊥DE．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等边三角形的对应边、对称角相等是解题的关键．