Question

1．甲、乙两家建筑材料厂对它们所生产的砖的抗断强度进行抽检，获得下面两组数据（单位：kg/cm²）：
甲厂：32.50，29.66，31.64，30.00，31.77，31.01，30.76，31.24，31.87，31.05；
乙厂：30.00，29.56，32.02，33.00，29.32，30.37，29.98，32.35，32.86，32.04．
请根据这两组数据评判两厂生产的砖的质量优劣．

Answer 1

分析 通常产品的优劣通过平均水平来衡量，若平均抗断强度高，则质量优，在平均抗断强度相同的情况下，通常比较产品的稳定性好坏．先利用定义分别求出甲乙平均数和方差，然后根据它们的意义进行解答即可．

解答 解：首先计算两家产品的平均抗断强度：
甲厂：$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{1}{10}$×（32.50+29.66+31.64+30.00+31.77+31.01+30.76+31.24+31.87+31.05）=31.15（千克/平方厘米），
乙厂：$\overline{{x}_{乙}}$=$\frac{1}{10}$×（30.00+29.56+32.02+33.00+29.32+30.37+29.98+32.35+32.86+32.04）=31.15（千克/平方厘米），
平均抗断强度都是31.15千克/平方厘米；
再计算上面两组数据的方差：
甲厂：S_甲²=$\frac{1}{10}$×[（32.50-31.15）²+（29.66-31.15）²+…+（31.05-31.15）²]≈0.67（千克²/平方厘米²），
乙厂：S_乙²=$\frac{1}{10}$×[（30.00-31.15）²+（29.56-31.15）²+…+（32.04-31.15）²]≈1.58（千克²/平方厘米²），
因为S_甲²＜S_乙²，
所以甲厂产品的抗断强度比乙厂产品的抗断强度稳定，甲厂产品的质量优于乙厂产品质量．

点评 本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x₁，x₂，…x_n的平均数为$\overline{x}$，则差S²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．