Question

4．如图，在△ABC中，AC=3AB，AD平分∠BAC，交BC边于点D，DE∥CA，交AB边于点E，DF∥BA，交AC边于点F，FE的延长线与CB的延长线交于点G．
（1）求证：EF=2EG；
（2）求S_△GBE：S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）过B作BH∥AD交CA的延长线于H，根据平行线的性质得到∠DAB=∠ABH，∠CAD=∠CHB，由角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，等量代换得到∠ABH=∠CHB，推出AB=AH，由已知条件AC=3AB，得到AH：AC=1：3，证得BD：CD=AH：AC=1：3，通过四边形AFDE是平行四边形，得到AE=DF，DF：AB=CD：BC=3：4，于是得到BE：AE=1：3，即可得到结论；
（2）根据平行线分线段出比例定理得到$\frac{BG}{BD}=\frac{GE}{EF}$=$\frac{1}{2}$，于是得到S_△BGE=$\frac{1}{2}$S_△BDE，由于BE=$\frac{1}{4}$AB，得到S_△BDE=$\frac{1}{4}$S_△ABD，根据$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{4}$，推出S_△ABD=$\frac{1}{4}$S_△ABC，于是得到结论．

解答 （1）证明：过B作BH∥AD交CA的延长线于H，
∴∠DAB=∠ABH，∠CAD=∠CHB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ABH=∠CHB，
∴AB=AH，
∵AC=3AB，
∴AH：AC=1：3，
∴BD：CD=AH：AC=1：3，
∵DF∥AE，DE∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∴AE=DF，DF：AB=CD：BC=3：4，
∴BE：AE=1：3，
∴BE：DF=1：3，
∵EG：GF=BE：DF=1：3，
∴EG：EF=1：2，
∴EF=2EG；

（2）解：∵AB∥DF，
∴$\frac{BG}{BD}=\frac{GE}{EF}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△BGE=$\frac{1}{2}$S_△BDE，
∵BE=$\frac{1}{4}$AB，
∴S_△BDE=$\frac{1}{4}$S_△ABD，
∵$\frac{CD}{BC}=\frac{DF}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{4}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
∴S_△BGE=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$S_△ABC，
∴S_△GBE：S_△ABC=1：32．

点评 本题考查了平行线分线段出比例，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．