Question

20．如图，在x轴正半轴上依次截取OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n（n为正整数），过点A₁、A₂、A₃、…、A_n分别作x轴的垂线，与反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）交于点P₁、P₂、P₃、…、P_n，连接P₁P₂、P₂P₃、…、P_n-1P_n，过点P₂、P₃、…、P_n分别向P₁A₁、P₂A₂、…、P_n-1A_n-1作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是（　　）

• A． $\frac{n-1}{n}$
• B． $\frac{n}{n+1}$
• C． $\frac{1}{{2}^{n}}$
• D． $\frac{1}{{4}^{n}}$

Answer 1

分析 由OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1可知P₁点的坐标为（1，y₁），P₂点的坐标为（2，y₂），P₃点的坐标为（3，y₃）…P_n点的坐标为（n，y_n），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出y₁、y₂、y₃的值，再由三角形的面积公式可得出S₁、S₂、S₃…S_n-1的值，故可得出结论．

解答 解：（1）设OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1，
∴设P₁（1，y₁），P₂（2，y₂），P₃（3，y₃），…P₄（n，y_n），
∵P₁，P₂，P₃…Bn在反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上，
∴y₁=2，y₂=1，y₃=$\frac{2}{3}$…y_n=$\frac{2}{n}$，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×1×（y₁-y₂）=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$；
∴S₁₌$\frac{1}{2}$；

（3）∵S₁=$\frac{1}{2}$×1×（y₁-y₂）=$\frac{1}{2}$×1×（2-$\frac{2}{2}$）=1-$\frac{1}{2}$；
∴S₂=$\frac{1}{2}$×1×（y₂-y₃）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；
S₃=$\frac{1}{2}$×1×（y₃-y₄）=$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{4}$）=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$；
…
∴S_n-1=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n-1==1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{n-1}{n}$．
故选A．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．