Question

18．为了方便行人，市政府打算修建如图所示的过街天桥，桥面AD平行于地面BC，立柱AE⊥BC于点E，立柱DF⊥BC于点F，若AB=10$\sqrt{5}$米，tanB=$\frac{1}{2}$，∠C=30°．
（1）因受地形限制，决定对天桥进行改建，使CD斜面的坡度变陡，将30°坡角改为40°，改建后斜面为DG，试计算此次改建节省路面宽度CG大约是多少？（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，$\sqrt{3}$≈1.732）
（2）在该天桥修建工程中，某工程队每天修建若干米，为了尽量减少施工对周边环境的影响，该队提高施工效率，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前两天完成，求原计划几天完成该工程？

Answer 1

分析 （1）判断出四边形AEFD是矩形，在Rt△DCF中，利用三角函数解答；
（2）设原计划x天完成该工程，根据题意得得到方程，即可得到结论．

解答 解：（1）∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，∠AEF=90°，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形，
∴DF=AE=5米，
在Rt△DCF中，∠C=30°，DF=AE=10米，
∴GF=$\frac{DF}{tan40°}$≈11.9米，
改建节省所占路面的宽度为CG=CF-GF=20.59-11.9≈8.69米；

（2）设原计划x天完成该工程，
根据题意得：$\frac{1}{x-2}$=$\frac{1}{x}$（1+20%），
解得：x=12
经检验：x=12是原方程的解，且符合实际，
答：原计划12天完成该工程．

点评 本题考查了解直角三角形的应用--坡度坡角问题，找到合适的直角三角形是解题的关键．