Question

6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．
（1）求证：CE=CB；
（2）若AC=2$\sqrt{5}$，CE=$\sqrt{5}$，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，利用切线的性质和已知条件推知OC∥AD，根据平行线的性质和等角对等边证得结论；
（2）AE=AD-ED，通过相似三角形△ADC∽△ACB的对应边成比例求得AD=4，DC=2．在直角△DCE中，由勾股定理得到DE=$\sqrt{E{C}^{2}-D{C}^{2}}$=1，故AE=AD-ED=3．

解答 （1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠1=∠3．
又OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴CE=CB；

（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=2$\sqrt{5}$，CB=CE=$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+C{B}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=5．
∵∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠2，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{DC}{CB}$，即$\frac{AD}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{DC}{\sqrt{5}}$，
∴AD=4，DC=2．
在直角△DCE中，DE=$\sqrt{E{C}^{2}-D{C}^{2}}$=1，
∴AE=AD-ED=4-1=3．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题时，注意辅助线的作法．