Question

20．[发现]如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）

[思考]如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？我们知道，如果点D不在经过A，B，C三点的圆上，那么点D要么在圆O外，要么在圆O内，以下该同学的想法说明了点D不在圆O外．（如图③，过A，B，C三点作圆，圆心为O，假设点D在圆O外，设AD交圆O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，又由∠AEB是△BDE的一个外角，得∠AEB＞∠ADB，因此∠ACB＞∠ADB，就与条件∠ACB=∠ADB矛盾，所以点D不在圆O外）
请结合图④证明点D也不在⊙O内．
[结论]综上可得结论：如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（点C，D在AB的同侧），那么点D在经过A，B，C三点的圆上，即：点A、B、C、D四点共圆．
[应用]利用上述结论解决问题：
如图⑤，已知△ABC中，∠C=90°，将△ACB绕点A顺时针旋转一个角度得△ADE，连接BE、CD，延长CD交BE于点F，
（1）求证：点B、C、A、F四点共圆；
（2）求证：BF=EF．

Answer 1

分析 [思考]运用反证法，假设点D在圆内，根据圆周角定理和三角形的外角的性质证明与已知∠ACB=∠ADB相矛盾即可；
[应用]（1）根据等腰三角形的性质、圆周角定理得到∠ACD=∠ABE，即可得到结论；
（2）由B、C、A、F四点共圆，得到∠BFA+∠BCA=180°，推出AF⊥BE，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

解答 [思考]证明：如图，

假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE；
则∠AEB=∠ACB，
∵∠ADB是△DBE的一个外角，
∴∠ADB＞∠AEB，
∴∠ADB＞∠ACB，
这与条件∠ACB=∠ADB矛盾，
∴点D不在⊙O内；

[应用]证明：（1）∵AC=AD，AB=AE，
∴∠ACD=∠ADC，∠ABE=∠AEB，
∵∠CAB=∠DAE，
∴∠CAD=∠BAE，
∵2∠ACD+∠CAD=180°，2∠ABE+∠BAE=180°，
∴∠ACD=∠ABE，
∴B、C、A、F四点共圆；
（2）∵B、C、A、F四点共圆，如图，

∴∠BFA+∠BCA=180°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BFA=90°，
∴AF⊥BE，
∵AB=AE，
∴BF=EF．

点评 本题考查的是四点共圆，需要掌握点与圆的位置关系、圆周角定理以及反证法的应用，掌握反证法的一般步骤、同弧所对的圆周角相等是解题的关键．