Question

1．已知⊙O的面积为3π，则其内接正三角形的面积为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 如图，△ABC为⊙O的内接正三角形，作AD⊥BC于D，则BD=CD，根据垂径定理的推论可得圆心O在AD上，连接OB，如图，利用圆的面积公式计算出圆的半径为$\sqrt{3}$，根据等边三角形的性质可判断点O为等边△ABC的外心和内心，则∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABD=30°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系计算出OD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BD=$\sqrt{3}$OD=$\frac{3}{2}$，然后根据三角形面积公式求解．

解答 解：如图，△ABC为⊙O的内接正三角形，
作AD⊥BC于D，则BD=CD，
∴圆心O在AD上，
连接OB，如图，设⊙O的半径为r，
∵⊙O的面积为3π，
∴πr²=3π，解得r=$\sqrt{3}$，
∵点O为等边△ABC的外心，
∴点O为等边△ABC的内心，
∴∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABD=30°，
在Rt△OBD中，OD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
BD=$\sqrt{3}$OD=$\frac{3}{2}$，
∴BC=2BD=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）×3=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．解决本题的关键是等边三角形性质的灵活应用．