Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC，垂足为E，若BC=6

3

，DE=3．
求：（1）⊙O的半径；（2）弦AC的长；（3）阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）半径OD⊥BC，所以由垂径定理知：CE=BE，在直角△OCE中，根据勾股定理就可以求出OC的值；
（2）根据AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，因而在直角三角形ABC中根据勾股定理得到AC的长；
（3）阴影部分的面积就是扇形OCA的面积减去△OAC的面积．

解答：解：（1）∵半径OD⊥BC，
∴CE=BE，
∵BC=6

3

，
∴CE=3

3

，
设OC=x，在直角三角形OCE中，OC²=CE²+OE²，
∴x²=（3

3

）²+（x-3）²，
∴x=6
即半径OC=6；（4分）

（2）∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，AB=12，
又∵BC=6

3

，
∴AC²=AB²-BC²=36，
∴AC=6；（7分）

（3）∵OA=OC=AC=6，
∴∠AOC=60°，
∴S_阴=S_扇-S_△OAC=

60×π×62

360

-

1

2

×6×6×

3

2

=6π-9

3

．（10分）

点评：阴影部分的面积可以看作是扇形的面积减去三角形的面积，求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．