Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．
（1）若∠A=36°，求∠DCB的度数．
（2）若AE=4，△ABC的周长为21，求△DCB的周长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形性质求两个底角的度数为72°，由线段垂直平分线性质得AD=CD，由等边对等角得：∠ACD=∠A=36°，所以∠DCB=72°-36°=36°；
（2）由AE得AC=8，根据AD=CD转化可求△DCB的周长．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ACB=∠B=$\frac{180°-36°}{2}$=72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=BE，AD=CD，
∴∠ACD=∠A=36°，
∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=72°-36°=36°；
（2）∵AE=EC=4，
∴AC=8，
∵△ABC的周长为21，
∴AC+AB+BC=21，
则AC+AD+BD+BC=21，
AC+CD+BD+BC=21，
∴CD+BD+BC=21-8=13．
即△DCB的周长是13．

点评 本题考查了等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线性质，此题难度不大，熟练掌握等边对等角是关键，注意运用数形结合的思想．