Question

11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点B（2，0），△ABO的面积为2，动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在射线OB上运动，动点Q从B出发，沿x轴的正半轴与点P同时以相同的速度运动，过点P作PM⊥x轴交直线AB于点M．
①求直线AB的解析式；
②当点P在线段OB上运动时，设△MPQ的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）
③过点Q作QN⊥x轴交直线AB于点N，在运动过程中（点P不与点B重合），是否存在某一时刻t秒，使△MNQ是以NQ为腰的等腰三角形？若存在，求出时间t值．

Answer 1

分析 ①根据三角形的面积求出OA，再写出点A的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
②根据等腰直角三角形的性质表示出PM，再求出PQ的长，然后利用直角三角形的面积公式列式整理即可得解；
③表示出PM、QN，再利用勾股定理列式表示出QM²，再求出MN，然后分MN=QN，QN=QM2种情况列出方程求解即可．

解答 解：①∵点B（2，0），
∴OB=2，
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}$OB•OA=$\frac{1}{2}$×2•OA=2，
解得OA=2，
∴点A（0，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+2；

②如图1，∵OA=OB=2，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∵点P、Q的速度都是每秒1个单位长度，
∴PM=PB=OB-OP=2-t，
PQ=OB=2，
∴△MPQ的面积为S=$\frac{1}{2}$PQ•PM=$\frac{1}{2}$×2×（2-t）=2-t，
∵点P在线段OB上运动，
∴0≤t＜2，
∴S与t的函数关系式为S=2-t（0≤t＜2）；

③如图1，t秒时，PM=PB=|2-t|，QN=BQ=t，
所以，QM²=PM²+PQ²=（2-t）²+4，
MN=$\sqrt{2}$（QN-PM）=$\sqrt{2}$（t-t-2）=2$\sqrt{2}$，
①若MN=QN，则t=2$\sqrt{2}$，
②若QN=QM，则（2-t）²+4=t²
∴4t-8=0 
解得t=2
当t=2时，点P与B重合，不符合题意舍去
综上所述，t=2$\sqrt{2}$时，△MNQ是以NQ为腰的等腰三角形．

点评 此题主要考查了一次函数综合题型，主要利用了三角形的面积，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，难点在于③分情况讨论，用t表示出△MNQ的三边是解题的关键．